本来信用卡欠款是有可能判刑坐牢的。不过你这种情况绝对不会。
你要明白什么情况下能坐牢。只要犯罪了才能坐牢。欠款本身和坐牢不挨着。欠信用卡钱不还，在某种情况下可以构成信用卡诈骗罪。
2018年12月1日起，恶意透支型信用卡诈骗罪由原来的1万元改为现在的5万元。首先你的涉案金额3.7万元就不够，所以公安局也不可能给你以恶意透支型信用卡诈骗罪立案。
其次，信用卡诈骗罪是诈骗罪的一种，并不是因为欠款犯罪，而是因为诈骗犯罪。按照你所说的，其实你还不上是有一定原因的，并不是主动逃避债务想骗取信用卡里的钱占为己有。况且你也没失联，还主动联系银行要还款。这些都足以证明你不是诈骗。
还有要注意的是即使银行起诉也是民事借贷纠纷官司，并不会判刑坐牢。你们有相同的权利，不要害怕。法院判决的最终结果也会是让你还钱，如果没有钱也可以协商分期还。
催收之所有吓唬你，其实就是为了让你快点弄到钱还给他们。还有就是利用你这种不懂的心理，让你混淆以为起诉就是能判刑呢。
总之，你这种情况不可能坐牢，公安局也不会立案。银行民事起诉的概率也很小，因为在所有的信用卡欠款人中，你这种算是良心的了，只要你慢慢还钱，银行不会拿你开刀的。